《数学大帝》第五百六十八章 千禧年七猜想之五：杨-米尔斯规范场的存在性与质量缺口

    这是一个粒子物理学的问题，先来看一下关于杨——米尔斯方程的介绍。
    杨一米尔斯方程(yang-millsequation)是一个重要的微分方程，指杨一米尔斯作用量所确定的欧拉一拉格朗日方程。
    杨氏理论是基于su(n)组的一种规范理论，或者更普遍地说，是一个紧凑、半简单的李群。
    杨振宁，米尔斯理论旨在描述基本粒子的行为使用这些非阿贝尔李群和统一的核心的电磁和弱力(即u(1)×su(2))以及量子色动力学理论的强力(基于su(3))。从而形成了我们对粒子物理标准模型理解的基础。
    杨—米尔斯方程研究的大概历史是这样的：关于杨—米尔斯规范场，还必须从电磁场说起。大家都知道，磁铁能吸引铁屑。这是因为在磁铁和铁屑之间存有磁场。光也是电磁场，不过它是波动式的，而上面所说的则是静态式的。
    杨—米尔斯场便是电磁场的推广。它是非线性的，这点跟爱因斯坦的场方程一样，都是非线性偏微方程。杨振宁和米尔斯在1954年的贡献便是引申了规范场而用之于基本粒子的相互作用，由此产生出将强力和弱力统一的想法。
    但最早规范场的概念可追溯于麦克斯韦方程。可是从对称为出发点的看法是由德国数学和理论物理学家外尔提出来。爱氏在1915年的广义相对论把引力和时空几何联系在一起后，他和许多物理学家都想把电磁场几何化，因而进一步把引力场和电磁场统一在一起。
    外尔便是朝此方向研究。他引进了相位变换的概念，产生规范场的存在。从对称观点出发，立足于规范不变，规范场便很自然的出现。
    简单的说，如果在任何时空点，我们容许相位变换是遵循对称性的变换，那这些无数不同时空点的相位变换必须联系在一起，这工作必须有场来执行，这便是所谓的规范场。
    杨振宁在1950年前后对规范不变原理有深刻的理解，很明确地了解规范场在量子物理学科的重要性。外尔的规范场是电磁场，是基于可对易的u(1)对称群的。
    在当时关于质子和中子的强力作用，海森堡已提出不可对易的su(2)群为适合的对称群。杨振宁了解到其重要性，花了约四年的时间推广出su(2)规范场。也就是1954的年时候给出了杨—米尔斯理论。
    杨—米尔斯方程场方程是非线性的，是线性的麦克斯韦方程的推广。麦克斯韦方程包含了所有的电磁学。从麦克斯韦方程（1860）到杨—米尔斯方程（1954），前后是94年时间。
    杨振宁在规范场论方面有深切的悟解，把局域规范不变性原理发挥得淋漓尽致，作了不朽的贡献。仅仅过了2年，杨振宁和李政道又提出宇称不守恒定律。并且经过吴健雄验证是正确的。因而获得诺贝尔奖。
    不过杨——米尔斯理论并没得诺贝尔奖，这点比较遗憾。因为杨——米尔斯理论与实验是高度吻合的。为什么没有获奖，这个就不太清楚了。
    不过爱氏也没有因为相对论而获奖，但相对论也于实验很吻合。这样对比考虑的话，也可以理解杨为何没有因此获奖。不过时代不一样了。爱氏在世的时候，广义相对论的很多实验是做不出来的。引力波就是其预言的，但最近2年才被证实。
    其实一开始杨——米尔斯理论并没有受到重视。即1954年初，杨振宁和罗伯特·米尔斯将量子电动力学的概念推广到非阿贝尔规范群，将原本可交换群的规范理论（应用的量子电动力学）拓展到不可交换群，以解释强相互作用。杨-米尔斯的观点受到了泡利的批评，其原因在于杨-米尔斯理论的量子必须质量为零以维持规范不变性。如果其作用粒子质量为零，则其作用是长程作用力。然而实验上没有观察到长程力的的作用。
    直到1960年，当时由戈德斯通effreygoldstone、南部yoibu和乔瓦尼·乔纳-拉希尼欧giovannijona-sinio等人开始运用对称性破缺的机制，从零质量粒子的理论中去得到带质量的粒子，杨-米尔斯理论的重要性才显现出来。
    这促使了杨米尔斯理论研究的火热，证明了这两种理论都成功地应用了电弱统一和量子色动力学(qcd)。统一的标准模型结合了强相互作用和电弱相互作用(统一弱者和电磁相互作用)通过对称群su(2)×u(1)×su(3)。
    接下来大家看一下杨—米尔斯方程吧。
    杨——米尔斯理论得到的最重要结果之一是渐近自由。该结果可以通过假设耦合常数g小(小非线性)，高能量和应用摄动理论得到。这一结果的相关性在于，一种描述强相互作用和渐近自由的秧子理论可以适当地处理来自深层非弹性散射的实验结果。
    为了证明其渐近自由，一个应用摄动理论假设一个小耦合。这是在紫外线极限下验证的后验。在相反的极限情况下，红外极限，情况则相反，因为耦合太大，扰动理论难以可靠。大多数研究遇到的困难都是在低能量下管理理论。这是一种有趣的情况，是对强子物质的描述，更普遍地，对所有观察到的胶子和夸克的束缚态和它们的约束，都可以用这个理论来描述。
    研究这个极限理论的最常用方法是试着在计算机上解决它。在这种情况下，需要大量的计算资源来确定无限体积(小格间距)的正确极限。爱氏场方程的解，也需要用到计算机模拟。所以我们完全可以产生一个疑问：“爱氏场方程和杨——米尔斯场方程的桥梁是什么？”
    为了理解理论在大、小动量下的行为，一个关键的量是传播器。对于一个秧苗理论，我们必须同时考虑胶子和虚传播器。在大动量(紫外线极限)下，这个问题完全解决了渐近自由的发现。在这种情况下，可以看出该理论是自由的，而且胶子和虚传播器都是自由无质量的粒子。理论的渐近状态由带有相互作用的无质量胶子表示。
    在低动量(红外极限)，这个问题更需要解决。其原因是该理论在这种情况下具有很强的耦合性，不能应用摄动理论。唯一可靠的方法是在一台足够大的计算机上执行格子计算。对这个问题的回答是一个基本的问题，因为它将提供对监禁问题的理解。另一方面，我们不应该忘记，传播者是一种依赖于度量的量，因此，当一个人想要得到有意义的物理结果时，他们必须谨慎管理。
    gribov发现了一个关于在扬-米尔斯理论中进行测量的问题:他表明，即使一个测量值是固定的，自由也被保留了。此外，他还能在朗道量表中为胶子传播者提供一种功能形式。
    这种传播器不能以这种方式正确，因为它将违反因果关系。另一方面，它提供了线性上升的潜力，这将给夸克约束提供理由。这个函数形式的一个重要方面是，胶子传播器在动量为零的情况下趋于零。这将成为接下来的一个关键点。
    在gribov的这些研究中，zwanziger扩展了他的方法。不可避免的结论是，胶子的传播器应该在瞬间达到零，而在空闲的情况下，幽灵传播器应该增强。当这个场景被提出时，计算资源不足以决定它是否正确。相反，人们采用了不同的方法，使用了镝-sger方程。这是一组n点函数的耦合方程，它构成了一个层次结构。这意味着n点函数的方程将依赖于(n+1)-点函数。为了解决它们，我们需要一个适当的截断。在另一方面，这些方程可以允许在任何状态下获得n点函数的行为。
    关于数学，应该注意到，在2016年，杨-米尔斯理论是一个非常活跃的研究领域，在西蒙·唐纳森的作品中，在四维的流形上具有可微结构的不变性。此外，在陶氏数学研究所的“千年奖问题”列表中，也包括了秧歌理论。这里的奖项问题在于，尤其在一个猜想的证明中，一个纯粹的杨-米尔斯理论(即没有物质场)的最低兴奋度与真空状态有一个有限的质量差距。另一个与这个猜想有关的开放问题，是在额外的费米子粒子的存在下被限制的性质的证明。
    在物理上，对秧歌理论的研究通常不从摄动分析或分析方法开始，而是从系统地应用数值方法到格点理论。
    总之大家这样去理解，杨——米尔斯方程是一个很重要的方程，现在量子力学能够统一除引力之外的三种力，都有杨——米尔斯理论的帮助。尤其是后来发展起来的对称破缺，渐进自由，希格斯机制理论。
    再者要知道，这个场方程是一个非线性波动方程。而关于杨——米尔斯规范场我们的了解其实不多，也不够形象和明确化。对于接杨——米尔斯方程的解，更是很难的。
    关于方程的解上面表述了那么多，大家也知道了。一般借助电脑通过假设数值和情形来做处理的。
    千禧计划中就有关于杨——米尔斯理论的问题，解开了问题，奖金100万美金。就说明了，这个理论还有很大的发展空间，和完善空间。