《数学大帝》第556章 任何洞都等价动物洞

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    现在来讨论一个令人吃惊的猜想。康韦虽然没有完成其证明，但是他相信每种可能的洞，无论其大小或形状如何，在下面这种意义上都等价于一个十足动物的洞。通过重新排列这个洞周围的镶嵌片，在必要的情况下取走或添加有限数量的镶嵌片，你就能把每个洞都转换成一个十足动物。假如事实果真如此，那么一个图案中的任何有限数量的洞就都能够被简化成一个十足动物。我
    们只需要取走足够的镶嵌片，从而将这些洞连接面成一个大洞，然后不断缩小这个大洞，直至得到一个无法铺陈的十足动物。
    将一个十足动物想象成一片固化的镶嵌片。除了蝙蝠侠和阿斯特里克斯以外，62种十足动物中的每一种都好像是凝结成一颗晶体的一种瑕疵。它强制产生一种独特的无限车轮图案，其中包括轮辐等等，如此永无止境。如果康韦的猜想成立，那么任何一片强制产生一种独特铺陈的“异形镶嵌片”（这是彭罗斯所用的术语），无论这镶嵌片有多大，它的轮廓线都可转换成60种十足动物的洞之一。
    早先描述过将等腰三角形改变成螺旋状铺陈的多边形，通过与之相同的技巧，就可以把风等和飞镖改变成其他一些形状。埃舍尔正是运用这种技巧，将多边形镶嵌片转换成了动物的形状。图1.13中显示了彭罗斯如何将他的飞镖和风筝转换成只能非周期性铺陈的鸡群。请注意，尽管这些鸡是非对称的不过要铺陈这个平面，完全没有必要把其中的任何一片翻过来。可惜，埃舍尔去世前没能得知彭罗斯的这些嵌片。不然的话，他将在它们的各种可能性中纵情陶醉！
    通过将飞镖和风等分割成更小的镶嵌片，并把它们用其他方式组合在起，你就可以构造出一些性质类似于飞镖和风筝的其他成对的镶嵌片。彭罗斯发现了异常简单的一对：图1.14的样例图案中的两种菱形，它们的各边都等长。较大那一片的内角分别为72度和108度，而较小那一片的内角分别为36度和144度。与前面一样，这两种镶嵌片的面积以及所需镶嵌片数之比都符合黄金比例。各种铺陈方式以不可数的无限多种非周期性方式膨胀、收缩以及铺陈这个平面。这种非周期性可以通过四凸或者某种着色方式来强制实现，例如彭罗斯提出的一种着色方式，在这幅插图中用浅灰色和深灰色区域表示。
    通过仔细观察图1.15中的这个五角星形，我们可以看到这两组镶嵌片是如何紧密地彼此联系在一起，又是如何与黄金比例密切相关。这是古希腊毕达哥拉斯学派的神秘符号，而歌德的浮士德也是用这张图抽获梅菲斯托费勒斯的。这一构造过程可以向内和向外，永远持续下去，并且每条线段都与下一条较短的线段构成黄金比例。请注意所有四种彭罗斯镶嵌片是如何嵌入这幅图中的。风筝是ABCD，而飞镖是AECB。图中的两个菱形是AECD和ABCF，尽管它们不符合恰当的相对大小关系，不过正如康韦喜欢说的那样，这两组镶嵌片是基于同一种潜在的“黄金材料”。任何关于风筝和飞镖的定理，都可以被转化成一条关于彭罗斯菱形或者任何一对其他彭罗斯镶嵌片的定理，反之亦然。康韦更喜欢研究飞镖和风筝，不过其他数学家们却更喜欢研究比较简单的菱形。安曼（ Robert Ammann）发现了令人眼花缭乱的各种其他非周期性铺陈集合。有一组集合由两个凸五边形和一个凸六边形构成，它在不需要任何边缘标记的情况下强制产生非周期性。他发现了好几对这样的组合，每一对都有一个五只内角为90度、一只内角为270度的六边形。
    是否存在某些与黄金比例无关的、强制实现非周期性的成对镶嵌片？是否存在一对相似的镶嵌片强制实现非周期性？是否存在不需要边缘标记而将强制实现非周期性的一对凸镶嵌片？
    当然，主要的未解问题是，是否存在一种只能非周期性铺陈平面的单一形状？大多数专家都认为不存在，不过大家都远不能给出证明。我们甚至还没能证明，如果有这样一种镶嵌片存在的话，那么它必定是非凸的。        p数学大帝最