《数学大帝》第551章 非周期性铺陈

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    有无限多种形状一一例如正六边形一一只能按照周期性方式铺陈。还有无限多种其他的形状既能按照周期性方式铺陈，也能按照非周期性方式铺陈。用全同的等腰直角三角形或四边形，很容易将国际象棋的棋盘转换为一种非周期性铺陈方式。只要如图1.2（A）的左图中所示的那样将每个正方形二等分，通过改变等分的取向来避免出现周期性。用多米诺骨牌也很容易进行非周期性铺陈。
    等腰三角形也能像图1.2（A）的中间图那样以放射状方式进行铺陈。尽管这种铺陈方式高度有序，却明显不是周期性的。正如戈德堡（ Michael Goldberg）1955年在一篇题为“中心镶嵌图”的论文中所指出的那样，这样的一种铺陈方式可以对半切开，然后可以将这两个半平面移动一步或更多步，从而构成一个非周期性铺陈的螺旋形式，如图1.2（A）中的右图所示。通过用两条全等的线条来取代这种三角形的两条相等的边，就可以有无数种方法来扭曲这个三角形，如图1.2（B）中的左图所示。如果这些新的边均由直边构成，那么结果得到的有5、7、9、11条边的多边形就能螺旋状铺陈。图1.3显示了用一个九边形以这种方式获得的一个引人注目的图案。这是由沃德堡（Heinz V）用一种复杂的方法首先发现的。戈德保得出这个图形的方法使它几乎变得很平常了。
    在人们知道的所有用全等图形构成的非周期性铺陈方式的例子中，图形也能以周期性方式铺陈。图1.2（B）中的右图显示了沃德堡的两个九边形如何组合成一个八边形，而这个八边形能以一种显而易见的方式进行周期性铺陈。
    通过将一组图形铺陈在一起，构成它们本身的更大复本，可以得到另一种非周期性排列方式。戈洛姆（Solomon W.Golomb）将它们称为“爬行动物”（reptile）。（参见我的《意外的绞刑》（Ued Hanging）一书的第19章。）图1.4显示了一个被称为“狮身人面像”的形状如何通过产生出越来越大的狮身人面像而构成非周期性铺陈。与上例一样，两个师身人面像（其中一个旋转180°）能以种显而易见的方式进行周期性铺陈。        p数学大帝最